Derivación de funciones trigonométricas

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

${\displaystyle f'(x)=\cos(x)}$

Derivada de la función coseno

Dada la función ${\displaystyle f(x)=\cos(x)=\operatorname {sen} \left(x {\frac {\pi }{2}}\right)}$ es inmediato que:

${\displaystyle f'(x)=-\operatorname {sen}(x)}$

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, ${\displaystyle f(x)}$,

${\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}$

y ${\displaystyle h(x)\neq 0}$, entonces la regla dice que la derivada de ${\displaystyle g(x)/h(x)}$ es igual a:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}$

A partir de la identidad trigonométrica

${\displaystyle \tan(x)={\frac {\operatorname {sen}(x)}{\cos(x)}}}$

haciendo:

${\displaystyle g(x)=\operatorname {sen}(x)}$

${\displaystyle g'(x)=\cos(x)}$

${\displaystyle h(x)=\cos(x)}$

${\displaystyle h'(x)=-\operatorname {sen}(x)}$

sustituyendo resulta

${\displaystyle f'(x)={\frac {\cos(x)\cos(x)-\operatorname {sen}(x)[-\operatorname {sen}(x)]}{\cos ^{2}(x)}}}$

operando

${\displaystyle f'(x)={\frac {\cos ^{2}(x) \operatorname {sen} ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}}$

y aplicando las identidades trigonométricas

${\displaystyle \cos ^{2}(x) \operatorname {sen} ^{2}(x)=1}$

${\displaystyle \sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}$

resulta:

${\displaystyle f'(x)=\sec ^{2}(x)}$

Derivada de la función arcoseno

Tenemos una función ${\displaystyle y=\operatorname {arcsen} x}$, que también se puede expresar como ${\displaystyle \operatorname {sen} y=x}$. Derivando implícitamente la segunda expresión:

${\displaystyle \cos y\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cos y}}}$

Tenemos además que ${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}y}}}$, y que ${\displaystyle x=\operatorname {sen} y}$. Sustituyendo, tenemos la fórmula final:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsen} x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Ejemplo #1

${\displaystyle y=\csc(x)\cot(x)}$

${\displaystyle y'=-\csc(x)\csc ^{2}(x)-\cot(x)\csc(x)\cot(x)}$

${\displaystyle y'=-\csc(x)\csc ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)\csc(x)}$

${\displaystyle y'=-\csc ^{3}(x)-\cot ^{2}(x)\csc(x)}$

Ejemplo #2

${\displaystyle y=3\operatorname {sen}(x)-2\cos(x)}$

${\displaystyle y'=3{\frac {d\operatorname {sen} x}{dx}}-2{\frac {d\cos x}{dx}}}$

${\displaystyle y'=3\cos(x) 2\operatorname {sen}(x)}$

Enlaces

• Ejercicios resueltos de derivada de funciones trigonometricas en wikimatematica